Trouver Forme Canonique Polynome Second Degré

Bonjour tout le monde! Aujourd’hui, je vais discuter de la manière de trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré. C’est une compétence mathématique importante, et ce n’est pas aussi difficile que vous pourriez le penser. Commençons!

1. Qu’est-ce qu’un polynôme du second degré ?

Un polynôme du second degré est un polynôme de la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes réelles et a est non nul. Le terme ax² est appelé terme quadratique, le terme bx est appelé terme linéaire et le terme c est appelé terme constant.

Types de polynômes du second degré

1. Polynômes à racines réelles distinctes : Ce sont les polynômes qui ont deux racines réelles distinctes.
2. Polynômes à racines réelles égales : Ce sont les polynômes qui ont deux racines réelles égales.
3. Polynômes à racines complexes conjuguées : Ce sont les polynômes qui ont deux racines complexes conjuguées.

2. Comment trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

Pour trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré, vous devez suivre ces étapes :

Étape 1 

Factorisez le polynôme en facteurs linéaires. Cela signifie le mettre sous la forme a(x – r₁)(x – r₂), où r₁ et r₂ sont les racines du polynôme.

Étape 2 

Si le polynôme n’est pas encore sous forme canonique, vous devez compléter le carré. Cela signifie ajouter et soustraire un terme constant au polynôme de manière à ce qu’il soit sous la forme a(x – h)² + k, où h et k sont des constantes.

Étape 3 

Une fois que vous avez complété le carré, vous pouvez écrire le polynôme sous sa forme canonique, qui est a(x – h)² + k.

3. Exemples

Trouvez la forme canonique des polynômes suivants :

Exemple 1 : x² + 4x + 3

Solution :

1. Factorisation : (x + 3)(x + 1)
2. Compléter le carré : (x + 2)² – 1
3. Forme canonique : (x + 2)² – 1

Exemple 2 : x² – 6x + 8

Solution :

1. Factorisation : (x – 2)(x – 4)
2. Compléter le carré : (x – 3)² + 1
3. Forme canonique : (x – 3)² + 1

Exemple 3 : 2x² + 4x + 1

Solution :

1. Factorisation : Pas possible
2. Compléter le carré : 2(x + 1)² – 1
3. Forme canonique : 2(x + 1)² – 1

4. Conclusion

J’espère que cet article vous a aidé à comprendre comment trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré. Si vous avez des questions, n’hésitez pas à les poser dans les commentaires ci-dessous. Continuez à apprendre et à explorer les mathématiques !

Trouver Forme Canonique Polynôme Second Degré

Points importants :

• Factoriser le polynôme en facteurs linéaires.
• Compléter le carré si nécessaire.
• Écrire le polynôme sous forme canonique.

Ces étapes vous permettront de trouver facilement la forme canonique d’un polynôme du second degré.

Factoriser le polynôme en facteurs linéaires.

Pour factoriser un polynôme en facteurs linéaires, il faut le mettre sous la forme a(x – r₁)(x – r₂), où r₁ et r₂ sont les racines du polynôme.

Il existe plusieurs méthodes pour factoriser un polynôme en facteurs linéaires. Voici quelques-unes des méthodes les plus courantes :

• Factorisation par identité remarquable : Cette méthode consiste à utiliser des identités mathématiques pour factoriser le polynôme. Par exemple, l’identité remarquable a² – b² = (a + b)(a – b) peut être utilisée pour factoriser le polynôme x² – 4 en (x + 2)(x – 2).
• Factorisation par groupement : Cette méthode consiste à regrouper les termes du polynôme de manière à pouvoir factoriser chaque groupe. Par exemple, le polynôme x² + 3x + 2 peut être factorisé en (x + 2)(x + 1) en regroupant les termes x² + 2x et x + 2.
• Factorisation par substitution : Cette méthode consiste à remplacer une variable du polynôme par une autre variable, de manière à pouvoir factoriser le polynôme résultant. Par exemple, le polynôme x² – 2xy + y² peut être factorisé en (x – y)² en remplaçant x par x – y.

Une fois que vous avez factorisé le polynôme en facteurs linéaires, vous pouvez facilement trouver sa forme canonique.

Compléter le carré si nécessaire.

Compléter le carré est une technique mathématique qui permet de mettre un polynôme du second degré sous sa forme canonique. Cette technique consiste à ajouter et soustraire un terme constant au polynôme de manière à ce qu’il soit sous la forme a(x – h)² + k, où h et k sont des constantes.

Pour compléter le carré, il faut suivre les étapes suivantes :

1. Diviser tous les termes du polynôme par le coefficient du terme quadratique. Cela permet de mettre le polynôme sous la forme x² + bx + c, où b et c sont des constantes.
2. Ajouter et soustraire le carré de la moitié du coefficient du terme linéaire. Cela permet de mettre le polynôme sous la forme x² + bx + (b/2)² – (b/2)² + c.
3. Factoriser le trinôme x² + bx + (b/2)². Cela permet de mettre le polynôme sous la forme (x + b/2)² – (b/2)² + c.
4. Simplifier le polynôme en développant le carré et en combinant les termes semblables. Cela permet de mettre le polynôme sous sa forme canonique a(x – h)² + k.

Compléter le carré est une technique utile pour trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré. Cette technique peut également être utilisée pour résoudre des équations du second degré.

Par exemple, pour compléter le carré du polynôme x² + 4x + 3, il faut suivre les étapes suivantes :

1. Diviser tous les termes du polynôme par le coefficient du terme quadratique, qui est 1 : x² + 4x + 3 = x² + 4x + 3.
2. Ajouter et soustraire le carré de la moitié du coefficient du terme linéaire, qui est 2 : x² + 4x + 3 = x² + 4x + (2)² – (2)² + 3.
3. Factoriser le trinôme x² + 4x + (2)² : x² + 4x + (2)² = (x + 2)².
4. Simplifier le polynôme en développant le carré et en combinant les termes semblables : (x + 2)² – (2)² + 3 = (x + 2)² – 1.

Le polynôme x² + 4x + 3 est donc sous sa forme canonique (x + 2)² – 1.

Écrire le polynôme sous forme canonique.

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Une fois que vous avez factorisé le polynôme en facteurs linéaires et complété le carré si nécessaire, vous pouvez facilement écrire le polynôme sous sa forme canonique.

La forme canonique d’un polynôme du second degré est a(x – h)² + k, où a, h et k sont des constantes.

Pour écrire le polynôme sous sa forme canonique, il faut suivre les étapes suivantes :

• Identifier les constantes a, h et k. La constante a est le coefficient du terme quadratique, la constante h est la moitié du coefficient du terme linéaire et la constante k est le terme constant.
• Substituer les constantes a, h et k dans la forme canonique a(x – h)² + k.

Par exemple, pour écrire le polynôme x² + 4x + 3 sous sa forme canonique, il faut suivre les étapes suivantes :

1. Identifier les constantes a, h et k : a = 1, h = 2 et k = 3.
2. Substituer les constantes a, h et k dans la forme canonique a(x – h)² + k : 1(x – 2)² + 3.

Le polynôme x² + 4x + 3 est donc sous sa forme canonique (x + 2)² – 1.