Forme Factorisée De Ax2 Bx C
Dans le monde des équations du second degré, la forme factorisée de $ax^2+bx+c$ est une représentation spéciale et pratique qui permet de résoudre facilement ces équations.
Cette forme est obtenue en factorisant l’expression $ax^2+bx+c$ en deux binômes du premier degré. Cela nous donne: $a(x+p)(x+q)$
1. Comprendre la forme factorisée
Pour factoriser $ax^2+bx+c$, nous devons trouver deux nombres $p$ et $q$ tels que $p+q=b$ et $pq=c$. Une fois que nous avons trouvé ces nombres, nous pouvons écrire l’expression factorisée comme suit:
$ax^2+bx+c=a(x+p)(x+q)$
Par exemple, pour l’équation $2x^2+5x+2$, nous pouvons trouver $p=2$ et $q=1$ car $2+1=5$ et $2\times1=2$. Ainsi, l’expression factorisée est $2(x+2)(x+1)$.
2. Utiliser la forme factorisée pour résoudre des équations
La forme factorisée est très utile pour résoudre des équations du second degré. En effet, lorsque nous avons l’expression factorisée, nous pouvons utiliser la propriété du produit nul pour trouver les solutions de l’équation.
Par exemple, pour résoudre l’équation $2x^2+5x+2=0$, nous pouvons utiliser l’expression factorisée $2(x+2)(x+1)=0$. En utilisant la propriété du produit nul, nous obtenons:
2(x+2)=0
ou
x+1=0
En résolvant chacune de ces équations, nous trouvons les solutions de l’équation initiale: $x=-2$ et $x=-1$.
3. Forme factorisée et discriminant
La forme factorisée d’un trinôme du second degré nous permet également de déterminer le discriminant de l’équation. Le discriminant, noté $\Delta$, est donné par la formule suivante:
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$, l’équation a deux solutions réelles distinctes. Si $\Delta=0$, l’équation a une solution réelle double. Si $\Delta<0$, l’équation n’a pas de solution réelle.
4. Exemples de forme factorisée
- $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$
- $2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2)$
- $3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$
- $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$
La forme factorisée de $ax^2+bx+c$ est un outil puissant qui nous permet de résoudre facilement des équations du second degré. En comprenant comment factoriser une expression du second degré, nous pouvons résoudre des équations plus rapidement et plus facilement.
Forme Factorisée De Ax2 Bx C
Méthode puissante pour résoudre équations du second degré.
- Factoriser expression $ax^2+bx+c$ en deux binômes.
Simplifier résolution équations et déterminer discriminant.
Factoriser expression $ax^2+bx+c$ en deux binômes.
Pour factoriser une expression $ax^2+bx+c$ en deux binômes, nous devons trouver deux nombres $p$ et $q$ tels que $p+q=b$ et $pq=c$. Une fois que nous avons trouvé ces nombres, nous pouvons écrire l’expression factorisée comme suit:
$ax^2+bx+c=a(x+p)(x+q)$
Par exemple, pour factoriser l’expression $2x^2+5x+2$, nous devons trouver deux nombres $p$ et $q$ tels que $p+q=5$ et $pq=2$. Nous pouvons trouver $p=2$ et $q=1$ car $2+1=5$ et $2\times1=2$. Ainsi, l’expression factorisée est $2(x+2)(x+1)$.
Voici les étapes détaillées pour factoriser une expression $ax^2+bx+c$ en deux binômes:
1. **Trouver deux nombres $p$ et $q$ tels que $p+q=b$ et $pq=c$.** 2. **Écrire l’expression factorisée comme suit:**
$ax^2+bx+c=a(x+p)(x+q)$
Par exemple, pour factoriser l’expression $3x^2+7x+2$, nous devons trouver deux nombres $p$ et $q$ tels que $p+q=7$ et $pq=2$. Nous pouvons trouver $p=2$ et $q=1$ car $2+1=7$ et $2\times1=2$. Ainsi, l’expression factorisée est $3(x+2)(x+1)$.
**Remarque:** Si l’expression $ax^2+bx+c$ ne peut pas être factorisée en deux binômes, alors elle est dite irréductible.
Exemple
Factoriser l’expression $4x^2-12x+9$.
**Solution:**
1. **Trouver deux nombres $p$ et $q$ tels que $p+q=-12$ et $pq=9$.** * Nous pouvons trouver $p=-3$ et $q=-3$ car $-3+(-3)=-12$ et $(-3)\times(-3)=9$. 2. **Écrire l’expression factorisée comme suit:**
$4x^2-12x+9=4(x-3)(x-3)$
**Simplification:**
$4(x-3)(x-3)=(2x-6)(2x-6)$
Donc, l’expression factorisée de $4x^2-12x+9$ est $(2x-6)^2$.
Conclusion
Factoriser une expression $ax^2+bx+c$ en deux binômes est une étape importante pour résoudre des équations du second degré et déterminer le discriminant. En comprenant comment factoriser une expression du second degré, nous pouvons résoudre des équations plus rapidement et plus facilement.
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