Forme Canonique D Un Polynome Du Second Degré

Aujourd’hui, on va parler d’un truc un peu plus avancé en mathématiques : la forme canonique d’un polynôme du second degré.

Vous vous souvenez peut-être de l’équation standard d’une parabole :

$$y = ax^2 + bx + c$$

C’est l’équation d’une courbe en forme de U. La forme canonique est une autre façon d’écrire cette équation qui nous donne plus d’informations sur la parabole.

Comment trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré

Pour trouver la forme canonique, on doit d’abord compléter le carré. C’est un processus qui consiste à ajouter et à soustraire des termes pour que l’équation soit sous la forme parfaite du carré.

Étape 1

Si le terme constant (c) n’est pas nul, on peut le déplacer de l’autre côté de l’égalité en soustrayant c des deux côtés de l’équation :

$$y – c = ax^2 + bx$$

Étape 2

On va maintenant compléter le carré pour le terme en x². Pour ce faire, on doit trouver la moitié du coefficient de x² (a/2) et l’élever au carré : (a/2)².

On ajoute et on soustrait ce terme des deux côtés de l’équation :

$$y -c + (a/2)² = ax^2 + bx + (a/2)² – (a/2)²$$

On peut maintenant factoriser le côté droit de l’équation :

$$y -c + (a/2)² = (x + b/2a)² – (b²/4a²)$$

Étape 3

On peut maintenant simplifier l’équation en ajoutant c + (a/2)² des deux côtés :

$$y = (x + b/2a)² – (b²/4a²) + c + (a/2)²$$

On peut encore simplifier en combinant les termes constants :

$$y = (x + b/2a)² – (b²/4a² – c – (a/2)²)$$

La forme canonique de l’équation est donc :

$$y = a(x – h)² + k$$
où :
– a est le coefficient de x²
– h = -b/2a est le décalage horizontal du sommet de la parabole
– k = c – (b²/4a²) est le décalage vertical du sommet de la parabole

Forme Canonique Exemple

Prenons l’exemple du polynôme du second degré suivant :

$$y = x² – 4x + 3$$

Pour trouver la forme canonique, on suit les étapes ci-dessus :

Étape 1 : Déplacer le terme constant
$$y – 3 = x² – 4x$$
Étape 2 : Compléter le carré
$$y – 3 + 4 = x² – 4x + 4 – 4$$
$$y + 1 = (x – 2)² – 4$$
Étape 3 : Simplifier l’équation
$$y = (x – 2)² – 5$$

La forme canonique de ce polynôme est donc :

$$y = (x – 2)² – 5$$

Le sommet de la parabole est en (2, -5).

Forme Canonique D Un Polynome Du Second Degré

Points importants :

• Forme développée : ax² + bx + c

La forme canonique permet de déterminer facilement les caractéristiques d’une parabole, comme son sommet et son axe de symétrie.

Forme développée

La forme développée d’un polynôme du second degré est ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes réelles. Cette forme est également appelée l’équation cartésienne d’une parabole.

Le coefficient a est le coefficient de x², b est le coefficient de x, et c est le terme constant. Le coefficient a détermine la courbure de la parabole. Si a est positif, la parabole s’ouvre vers le haut. Si a est négatif, la parabole s’ouvre vers le bas.

Le coefficient b détermine l’axe de symétrie de la parabole. L’axe de symétrie est une droite verticale qui passe par le sommet de la parabole. L’axe de symétrie est donné par l’équation x = -b/2a.

Le terme constant c détermine le sommet de la parabole. Le sommet est le point le plus haut ou le plus bas de la parabole. Le sommet est donné par l’équation (x, y) = (-b/2a, c – b²/4a).

Exemple

Considérons le polynôme du second degré suivant :

$$y = x² – 4x + 3$$

Dans ce polynôme, a = 1, b = -4 et c = 3. La forme développée de ce polynôme est donc x² – 4x + 3.

Le coefficient a est positif, donc la parabole s’ouvre vers le haut. Le coefficient b est -4, donc l’axe de symétrie de la parabole est donné par l’équation x = -(-4)/2(1) = 2. Le terme constant c est 3, donc le sommet de la parabole est donné par l’équation (x, y) = (-(-4)/2(1), 3 – (-4)²/4(1)) = (2, -1).

On peut représenter graphiquement cette parabole en traçant des points sur le plan cartésien. Les points suivants appartiennent à la parabole :

$$(0, 3), (1, 0), (2, -1), (3, 2), (4, 9)$$

En traçant ces points et en les reliant, on obtient la parabole suivante :

/\ / \ /____\

Cette parabole s’ouvre vers le haut et son sommet est en (2, -1).