Fonction Du Second Degré Forme Factorisée

Fonction Du Second Degré Forme Factorisée

Salut à tous les passionnés de mathématiques ! Aujourd’hui, nous allons parler d’un sujet fascinant : la fonction du second degré forme factorisée. Alors, installez-vous confortablement et préparez-vous à explorer le monde des polynômes de degré 2.

Qu’est-ce qu’une fonction du second degré forme factorisée ?

Une fonction du second degré forme factorisée est une fonction polynomiale de degré 2 qui est exprimée sous la forme :

$$f(x) = a(x-r_1)(x-r_2)$$

où :

• $a$ est le coefficient dominant (le coefficient du terme du plus haut degré).
• $r_1$ et $r_2$ sont les racines de la fonction (les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$).

Déterminer les racines d’une fonction du second degré

Pour déterminer les racines d’une fonction du second degré forme factorisée, il suffit de résoudre les équations linéaires :

$$(x-r_1) = 0 \quad \text{et} \quad (x-r_2) = 0$$

Les solutions de ces équations sont les racines de la fonction.

Étudier le signe d’une fonction du second degré

Le signe d’une fonction du second degré forme factorisée dépend du signe du coefficient dominant $a$ et du signe des racines $r_1$ et $r_2$ :

• Si $a > 0$ et $r_1 < 0$ et $r_2 < 0$, alors $f(x) > 0$ pour $x < r_1$ et $x > r_2$, et $f(x) < 0$ pour $r_1 < x < r_2$.
• Si $a < 0$ et $r_1 > 0$ et $r_2 > 0$, alors $f(x) < 0$ pour $x < r_1$ et $x > r_2$, et $f(x) > 0$ pour $r_1 < x < r_2$.

Résoudre des problèmes à l’aide de la fonction du second degré

La fonction du second degré forme factorisée est un outil puissant qui peut être utilisé pour résoudre de nombreux problèmes, tels que :

• Résoudre des équations du second degré
• Étudier le signe d’une fonction du second degré
• Représenter graphiquement une fonction du second degré

Par exemple, considérons le problème suivant :

Problème :

Une balle est lancée verticalement vers le haut à une vitesse initiale de $10$ m/s. Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?

Solution :

Nous pouvons modéliser le mouvement de la balle par la fonction du second degré suivante :

$$f(x) = -4.9x^2 + 10x$$

où $x$ est la hauteur de la balle en mètres et $t$ est le temps en secondes.

Pour trouver la hauteur maximale atteinte par la balle, nous devons résoudre l’équation $f'(x) = 0$ :

$$f'(x) = -9.8x + 10 = 0$$

Ce qui donne $x = 1.02$ mètres.

Par conséquent, la hauteur maximale atteinte par la balle est de $1.02$ mètres.

Conclusion

La fonction du second degré forme factorisée est un outil mathématique puissant qui peut être utilisé pour résoudre de nombreux problèmes. Nous avons exploré les bases de cette fonction, notamment sa définition, ses propriétés et ses applications. N’hésitez pas à explorer davantage ce sujet fascinant si vous souhaitez approfondir vos connaissances en mathématiques.

Fonction Du Second Degré Forme Factorisée

Points clés :

• Forme factorisée : $(a\ne0)\:(x-r_1)(x-r_2)$.

Ces points clés permettent de comprendre rapidement la forme factorisée d’une fonction du second degré et ses composantes essentielles.

Forme factorisée&nbsp;

La forme factorisée d’une fonction du second degré est une expression qui met en évidence les racines de la fonction. Elle s’écrit sous la forme :

$$f(x) = a(x-r_1)(x-r_2)$$

où :

– $a$ est le coefficient dominant de la fonction (le coefficient du terme de plus haut degré). – $r_1$ et $r_2$ sont les racines de la fonction (les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$).

Pour factoriser une fonction du second degré, on peut utiliser la méthode de la factorisation par différence de carrés :

$$a(x^2+bx+c) = a[(x+\frac{b}{2})^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c]$$

Cette méthode est applicable si le discriminant $\Delta = b^2-4ac$ est positif. Si $\Delta$ est négatif, la fonction n’a pas de racines réelles et ne peut donc pas être factorisée sous la forme $(x-r_1)(x-r_2)$.

Voici un exemple de factorisation d’une fonction du second degré :

$$f(x) = x^2-5x+6$$

Le discriminant de cette fonction est $\Delta = (-5)^2-4(1)(6) = 1$, qui est positif. Nous pouvons donc factoriser $f(x)$ par différence de carrés :

$$f(x) = x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$$

La forme factorisée de $f(x)$ est donc $(x-2)(x-3)$.

La forme factorisée d’une fonction du second degré est utile pour étudier ses propriétés, telles que ses racines, son signe et son graphique. Elle est également utilisée pour résoudre des équations du second degré.