Déterminer La Forme Canonique D'Une Fonction Du Second Degré

Déterminer La Forme Canonique D’Une Fonction Du Second Degré

Salut tout le monde, aujourd’hui, nous allons parler de la manière de déterminer la forme canonique d’une fonction du second degré. Il s’agit d’une compétence mathématique importante qui peut être utilisée pour résoudre de nombreux problèmes différents.

Qu’est-ce qu’une Fonction du Second Degré ?

Une fonction du second degré est une fonction qui peut être exprimée sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a, b$ et $c$ sont des constantes. Le graphique d’une fonction du second degré est une parabole.

Forme Canonique d’une Fonction du Second Degré

La forme canonique d’une fonction du second degré est $f(x) = a(x – h)^2 + k$ où $a, h$ et $k$ sont des constantes. Dans cette forme, $(h, k)$ est le sommet de la parabole. Le graphique d’une fonction du second degré sous forme canonique est une parabole qui est symétrique par rapport à une ligne verticale passant par le sommet.

Comment Déterminer la Forme Canonique d’une Fonction du Second Degré ?

Pour déterminer la forme canonique d’une fonction du second degré, il suffit de suivre ces étapes :

* Mettre la fonction sous la forme $f(x) = a(x – h)^2 + k$. * Identifier les valeurs de $a, h$ et $k$. * Le sommet de la parabole est $(h, k)$.

Exercices

1. Déterminer la forme canonique de la fonction $f(x) = x^2 – 4x + 3$.

Solution :

f(x) = x^2 - 4x + 3
f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3
f(x) = (x - 2)^2 - 1

Le sommet de la parabole est $(2, -1)$.

2. Déterminer la forme canonique de la fonction $f(x) = 2x^2 + 6x – 4$.

Solution :

f(x) = 2x^2 + 6x - 4
f(x) = 2(x^2 + 3x - 2)
f(x) = 2((x^2 + 3x + (3/2)^2) - (3/2)^2 - 2)
f(x) = 2((x + 3/2)^2 - 13/4)

Le sommet de la parabole est $(-3/2, -13/4)$.

3. Déterminer la forme canonique de la fonction $f(x) = -x^2 + 2x – 3$.

Solution :

f(x) = -x^2 + 2x - 3
f(x) = -(x^2 - 2x + 1) + 1 - 3
f(x) = -(x - 1)^2 - 2

Le sommet de la parabole est $(1, -2)$.

Conclusion

J’espère que cet article vous a aidé à comprendre comment déterminer la forme canonique d’une fonction du second degré. Cette compétence est importante pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques différents. Si vous avez des questions, n’hésitez pas à les poser dans les commentaires ci-dessous.

Déterminer La Forme Canonique D’Une Fonction Du Second Degré

Points clés :

• Simplifier l’équation.
• Identifier les valeurs de $a, h$ et $k$.
• Écrire sous forme canonique.

La forme canonique d’une fonction du second degré est $f(x) = a(x – h)^2 + k$, où $(h, k)$ est le sommet de la parabole.

Simplifier l'équation.

Pour simplifier l’équation d’une fonction du second degré, il faut la mettre sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$. Cela signifie qu’il faut développer tous les produits et éliminer les parenthèses.

• Développer les produits.

S’il y a des produits de termes entre parenthèses, il faut les développer en multipliant chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième parenthèse.

Par exemple, $(x + 2)(x – 3) = x^2 – 3x + 2x – 6 = x^2 – x – 6$.

Éliminer les parenthèses.

Une fois que tous les produits ont été développés, il faut éliminer toutes les parenthèses en distribuant les signes.

Par exemple, $2(x + 1) – 3(x – 2) = 2x + 2 – 3x + 6 = -x + 8$.

Une fois que l’équation a été simplifiée, il est plus facile d’identifier les valeurs de $a, b$ et $c$ et de déterminer la forme canonique de la fonction.

Voici un exemple :

Simplifier l’équation $f(x) = (x + 2)^2 – 3x + 1$.

Solution :

f(x) = (x + 2)^2 - 3x + 1
f(x) = x^2 + 4x + 4 - 3x + 1
f(x) = x^2 + x + 5

L’équation simplifiée est $f(x) = x^2 + x + 5$.

Dans cet exemple, $a = 1, b = 1$ et $c = 5$.

Identifier les valeurs de $a, h$ et $k$.

Une fois que l’équation d’une fonction du second degré a été simplifiée sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$, il est facile d’identifier les valeurs de $a, h$ et $k$.

• $a$ est le coefficient de $x^2$.

Par exemple, dans l’équation $f(x) = 2x^2 + 3x – 5$, $a = 2$.

$h$ est le $x$-coordonné du sommet de la parabole.

La formule pour $h$ est $h = -\frac{b}{2a}$.

Par exemple, dans l’équation $f(x) = 2x^2 + 3x – 5$, $h = -\frac{3}{2(2)} = -\frac{3}{4}$.

$k$ est le $y$-coordonné du sommet de la parabole.

Pour trouver $k$, il suffit de substituer la valeur de $h$ dans l’équation de la fonction.

Par exemple, dans l’équation $f(x) = 2x^2 + 3x – 5$, $k = f\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) – 5 = -\frac{23}{8}$.

Une fois que les valeurs de $a, h$ et $k$ ont été identifiées, il est possible d’écrire la fonction du second degré sous sa forme canonique, $f(x) = a(x – h)^2 + k$.

Voici un exemple :

Identifier les valeurs de $a, h$ et $k$ pour la fonction $f(x) = x^2 + 2x + 3$.

Solution :

• $a = 1$.
• $h = -\frac{2}{2(1)} = -1$.
• $k = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 0$.

La forme canonique de la fonction est donc $f(x) = (x + 1)^2 + 0 = (x + 1)^2$.

Écrire sous forme canonique.

Pour écrire une fonction du second degré sous forme canonique, $f(x) = a(x – h)^2 + k$, il faut suivre ces étapes :

1. Identifier les valeurs de $a, h$ et $k$.

Cela a été expliqué dans la section précédente.

Calculer $h^2$.

$h^2$ est le carré de $h$.

Par exemple, si $h = -1$, alors $h^2 = (-1)^2 = 1$.

Remplacer $x$ par $x – h$ dans l’équation de la fonction.

Cela permet de centrer la parabole autour du sommet.

Par exemple, si $f(x) = x^2 + 2x + 3$ et $h = -1$, alors $f(x – h) = f(x + 1) = (x + 1)^2 + 2(x + 1) + 3$.

Développer le carré.

Cela permet d’obtenir un trinôme du second degré en $x$.

Par exemple, si $f(x – h) = (x + 1)^2 + 2(x + 1) + 3$, alors $f(x – h) = x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 3 = x^2 + 4x + 6$.

Ajouter et soustraire $h^2$ au trinôme.

Cela permet de compléter le carré.

Par exemple, si $f(x – h) = x^2 + 4x + 6$, alors $f(x – h) = x^2 + 4x + 4 + 6 – 4 = (x + 2)^2 + 2$.

Factoriser le trinôme.

Cela permet d’obtenir la forme canonique de la fonction.

Par exemple, si $f(x – h) = (x + 2)^2 + 2$, alors $f(x – h) = (x + 2)^2 + 2 = (x + 2)^2 + 1 + 1 = (x + 2)^2 + 1^2 = (x + 2 + 1)(x + 2 – 1) = (x + 3)(x + 1)$.

Une fois que la fonction a été écrite sous forme canonique, il est facile de déterminer les coordonnées du sommet de la parabole et de tracer le graphique de la fonction.

Voici un exemple :

Écrire la fonction $f(x) = x^2 + 2x + 3$ sous forme canonique.

Solution :

1. $a = 1, h = -1, k = 0$.
2. $h^2 = (-1)^2 = 1$.
3. $f(x – h) = f(x + 1) = (x + 1)^2 + 2(x + 1) + 3 = x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 3 = x^2 + 4x + 6$.
4. $f(x – h) = x^2 + 4x + 6 = x^2 + 4x + 4 + 6 – 4 = (x + 2)^2 + 2$.
5. $f(x – h) = (x + 2)^2 + 2 = (x + 2)^2 + 1 + 1 = (x + 2)^2 + 1^2 = (x + 2 + 1)(x + 2 – 1) = (x + 3)(x + 1)$.

La forme canonique de la fonction est donc $f(x) = (x + 3)(x + 1)$.