Comment Trouver La Forme Canonique D'Un Polynome Du Second Degré

Comment Trouver La Forme Canonique D’Un Polynome Du Second Degré

Salut à tous ! Aujourd’hui, on va parler de comment trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré. C’est un sujet qui peut sembler un peu compliqué au premier abord, mais en fait, c’est assez simple une fois qu’on a compris le principe.

Qu’est-ce Qu’un Polynôme Du Second Degré ?

Un polynôme du second degré est un polynôme dont le terme de plus haut degré est de degré 2. En d’autres termes, c’est un polynôme de la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes.

Comment Trouver La Forme Canonique D’Un Polynôme Du Second Degré ?

Pour trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré, il faut suivre les étapes suivantes :

1. Factoriser Le Polynôme

La première étape consiste à factoriser le polynôme. Cela signifie le décomposer en un produit de deux polynômes du premier degré. On peut le faire en utilisant la méthode de la factorisation par groupement ou la méthode du produit remarquable.

2. Compléter Le Carré

Une fois que le polynôme est factorisé, on peut compléter le carré. Cela signifie ajouter et soustraire un terme constant au polynôme de manière à obtenir un carré parfait. On peut le faire en utilisant la formule suivante :

(x + b/2a)² = x² + bx + b²/4a

3. Mettre Le Polynôme Sous Forme Canonique

Une fois que le carré est complété, on peut mettre le polynôme sous forme canonique. Cela signifie le réécrire de manière à ce qu’il soit de la forme (x – h)² + k, où h et k sont des constantes. On peut le faire en utilisant la formule suivante :

(x + b/2a)² + k = x² + bx + c

Exemples

Voici quelques exemples de comment trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré :

Exemple 1

Trouver la forme canonique du polynôme 2x² + 4x + 2.

Solution :

1. Factoriser le polynôme :

2x² + 4x + 2 = 2(x² + 2x + 1)

2. Compléter le carré :

2(x² + 2x + 1) = 2(x² + 2x + 1) + 0

3. Mettre le polynôme sous forme canonique :

2(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)²

Donc, la forme canonique du polynôme 2x² + 4x + 2 est 2(x + 1)².

Exemple 2

Trouver la forme canonique du polynôme x² – 6x + 8.

Solution :

1. Factoriser le polynôme :

x² – 6x + 8 = (x – 2)(x – 4)

2. Compléter le carré :

(x – 2)(x – 4) = (x – 2)(x – 4) + 0

3. Mettre le polynôme sous forme canonique :

(x – 2)(x – 4) = (x – 3)² – 5

Donc, la forme canonique du polynôme x² – 6x + 8 est (x – 3)² – 5.

Conclusion

Voilà, vous savez maintenant comment trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré. Ce n’est pas si difficile, n’est-ce pas ? Si vous avez des questions, n’hésitez pas à les poser dans les commentaires.

Et n’oubliez pas, la pratique rend parfait ! Alors, entraînez-vous à trouver la forme canonique de différents polynômes du second degré. Vous verrez, vous deviendrez vite un pro !

Comment Trouver La Forme Canonique D’Un Polynome Du Second Degré

Points importants :

• Factoriser le polynôme.
• Compléter le carré.
• Mettre le polynôme sous forme canonique.

Ces trois étapes sont essentielles pour trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré.

Factoriser le polynôme.

Factoriser un polynôme, c’est le décomposer en un produit de deux polynômes du premier degré. Cela peut se faire de plusieurs manières, mais les deux méthodes les plus courantes sont la factorisation par groupement et la factorisation par produit remarquable.

• Factorisation par groupement :

La factorisation par groupement consiste à regrouper les termes du polynôme de manière à obtenir deux groupes de termes qui ont un facteur commun. Par exemple, le polynôme 2x² + 4x + 2 peut être factorisé par groupement comme suit :

“` 2x² + 4x + 2 = (2x² + 4x) + 2 “` “` = 2x(x + 2) + 2 “` “` = (2x + 2)(x + 1) “` Factorisation par produit remarquable :

La factorisation par produit remarquable consiste à utiliser des formules mathématiques pour factoriser le polynôme. Par exemple, le polynôme x² – 4 peut être factorisé par produit remarquable comme suit :

x² – 4 = x² – 2²

= (x + 2)(x – 2)

Il existe de nombreux autres produits remarquables qui peuvent être utilisés pour factoriser les polynômes. Pour en savoir plus, vous pouvez consulter un manuel de mathématiques ou un site web spécialisé.

Une fois que le polynôme est factorisé, on peut compléter le carré et le mettre sous forme canonique. Mais avant de faire cela, il faut s’assurer que le polynôme est bien factorisé.

Compléter le carré.

Compléter le carré est une technique mathématique qui permet de transformer un polynôme du second degré en un carré parfait. Cela se fait en ajoutant et en soustrayant un terme constant au polynôme.

Pour compléter le carré, il faut suivre les étapes suivantes :

1. Diviser le coefficient du terme en x² par 2.

Par exemple, si le polynôme est 2x² + 4x + 2, le coefficient du terme en x² est 2. On divise donc 2 par 2, ce qui donne 1.

Élever le résultat au carré.

Dans notre exemple, on élève 1 au carré, ce qui donne 1.

Ajouter et soustraire le résultat au polynôme.

Dans notre exemple, on ajoute et on soustrait 1 au polynôme, ce qui donne :

“` 2x² + 4x + 2 + 1 – 1 “` “` = 2x² + 4x + 1 – 1 + 2 “` “` = (2x² + 4x + 1) – 1 + 2 “` Factoriser le carré parfait.

Dans notre exemple, le carré parfait est (2x + 1)². On peut donc factoriser le polynôme comme suit :

(2x² + 4x + 1) – 1 + 2

= (2x + 1)² – 1 + 2

= (2x + 1)² + 1

Voilà, le carré est complété !

Une fois que le carré est complété, on peut mettre le polynôme sous forme canonique. Cela se fait en utilisant la formule suivante :

(x + b/2a)² + k

où a, b et k sont des constantes.

Dans notre exemple, a = 2, b = 4 et k = 1. On peut donc mettre le polynôme sous forme canonique comme suit :

(2x + 1)² + 1

= (x + 1/2)² + 1

Voilà, le polynôme est maintenant sous forme canonique !

Mettre le polynôme sous forme canonique.

Mettre un polynôme du second degré sous forme canonique, c’est le réécrire de manière à ce qu’il soit de la forme (x – h)² + k, où h et k sont des constantes.

Pour mettre un polynôme sous forme canonique, il faut suivre les étapes suivantes :

1. Compléter le carré.

C’est l’étape préalable que nous avons vue dans le paragraphe précédent. Une fois que le carré est complété, le polynôme est de la forme (x + b/2a)² + k.

Simplifier l’expression.

Il suffit de développer le carré et de simplifier l’expression autant que possible.

Mettre le polynôme sous la forme (x – h)² + k.

Pour cela, il faut déplacer la constante k de l’autre côté du signe égal et changer le signe de h.

Voici un exemple :

2x² + 4x + 2

1. Compléter le carré :

2x² + 4x + 2 + 1 – 1

= (2x² + 4x + 1) – 1 + 2

= (2x + 1)² + 1

2. Simplifier l’expression :

(2x + 1)² + 1

= 4x² + 4x + 1 + 1

= 4x² + 4x + 2

3. Mettre le polynôme sous la forme (x – h)² + k :

4x² + 4x + 2

= 4(x² + x + 1/2)

= 4[(x + 1/2)² – 1/4 + 1/2]

= 4[(x + 1/2)² + 1/4]

Voilà, le polynôme est maintenant sous forme canonique !

La forme canonique d’un polynôme du second degré est utile pour plusieurs raisons. Elle permet notamment de déterminer facilement les racines du polynôme, c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles le polynôme est égal à 0. La forme canonique permet également de déterminer le sommet de la parabole représentée par le polynôme.