Comment Calculer Et Donner Les Résultats Sous Forme De Fractions Irréductibles
Les fractions irréductibles sont des fractions dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun facteur commun autre que 1. Cela signifie qu’elles ne peuvent être simplifiées davantage.
Il existe plusieurs méthodes pour calculer les fractions irréductibles.
1. Division Euclidienne
La division euclidienne est une méthode mathématique qui permet de diviser deux nombres entiers et d’obtenir un quotient et un reste. Pour calculer une fraction irréductible en utilisant la division euclidienne, il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur et d’utiliser le quotient comme numérateur et le reste comme dénominateur de la fraction irréductible.
2. Factorisation Première
La factorisation première est une méthode mathématique qui permet de décomposer un nombre entier en un produit de nombres premiers. Pour calculer une fraction irréductible en utilisant la factorisation première, il suffit de factoriser le numérateur et le dénominateur de la fraction et de supprimer les facteurs communs. Le numérateur et le dénominateur de la fraction irréductible seront alors les produits des facteurs premiers restants.
3. Méthode Du PGCD
Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux nombres entiers est le plus grand nombre qui divise les deux nombres sans reste. Pour calculer une fraction irréductible en utilisant la méthode du PGCD, il suffit de calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur de la fraction et de diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD. Le numérateur et le dénominateur de la fraction irréductible seront alors les quotients de cette division.
4. Méthode Des Fractions Continues
Les fractions continues sont une méthode mathématique qui permet de représenter un nombre réel sous la forme d’une somme infinie de fractions. Pour calculer une fraction irréductible en utilisant la méthode des fractions continues, il suffit de calculer la fraction continue du nombre réel représenté par la fraction et de tronquer la fraction continue à un nombre fini de termes. Le dernier terme de la fraction continue tronquée sera la fraction irréductible.
Exemples
- Calculer la fraction irréductible de 12/18.
En utilisant la division euclidienne, on obtient 12 ÷ 18 = 0 et 12. Le quotient est 0 et le reste est 12. La fraction irréductible est donc 12/18 = 2/3.
Calculer la fraction irréductible de 21/35.
En utilisant la factorisation première, on obtient 21 = 3 * 7 et 35 = 5 * 7. Le facteur commun est 7. La fraction irréductible est donc 21/35 = 3/5.
Calculer la fraction irréductible de 49/63.
En utilisant la méthode du PGCD, on obtient PGCD(49, 63) = 7. La fraction irréductible est donc 49/63 = 7/9.
Calculer la fraction irréductible de π.
En utilisant la méthode des fractions continues, on obtient π = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + …)))). En tronquant la fraction continue à un nombre fini de termes, on obtient une fraction irréductible approchée de π.
Conclusion
Les fractions irréductibles sont des fractions dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun facteur commun autre que 1. Elles peuvent être calculées en utilisant différentes méthodes, telles que la division euclidienne, la factorisation première, la méthode du PGCD ou la méthode des fractions continues.
Les fractions irréductibles sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en algèbre, en analyse et en géométrie. Elles sont également utilisées dans des applications pratiques, telles que la physique, l’ingénierie et l’économie.
Calculer Et Donner Les Résultats Sous Forme De Fractions Irréductibles
Point important :
- Simplifier les fractions pour obtenir leur forme irréductible.
Conclusion :
Les fractions irréductibles sont utiles dans de nombreux domaines des mathématiques et des applications pratiques.
Simplifier les fractions pour obtenir leur forme irréductible.
Pour simplifier une fraction et obtenir sa forme irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par leur plus grand commun diviseur (PGCD). Le PGCD est le plus grand nombre qui divise les deux nombres sans reste.
Il existe plusieurs méthodes pour calculer le PGCD. Une méthode simple consiste à utiliser la division euclidienne. On divise le plus grand nombre par le plus petit, et on note le reste. On divise ensuite le plus petit nombre par le reste, et on note le nouveau reste. On continue ainsi jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur non nul est le PGCD.
Une autre méthode pour calculer le PGCD est d’utiliser la factorisation première. On factorise le numérateur et le dénominateur de la fraction en nombres premiers. Le PGCD est alors le produit des facteurs premiers communs aux deux nombres.
Une fois que l’on a calculé le PGCD, on divise le numérateur et le dénominateur de la fraction par le PGCD. Le résultat est la fraction irréductible.
Par exemple, pour simplifier la fraction 12/18, on calcule d’abord le PGCD de 12 et 18. En utilisant la division euclidienne, on obtient 12 ÷ 18 = 0 et 12. Le quotient est 0 et le reste est 12. On divise ensuite 18 par 12, ce qui donne 18 ÷ 12 = 1 et 6. Le quotient est 1 et le reste est 6. On divise ensuite 12 par 6, ce qui donne 12 ÷ 6 = 2 et 0. Le quotient est 2 et le reste est 0. Le dernier diviseur non nul est 6. Donc, le PGCD de 12 et 18 est 6.
On divise ensuite le numérateur et le dénominateur de la fraction 12/18 par le PGCD 6. Cela donne 12 ÷ 6 = 2 et 18 ÷ 6 = 3. La fraction irréductible est donc 2/3.
Simplifier les fractions pour obtenir leur forme irréductible est une opération importante en mathématiques. Les fractions irréductibles sont plus faciles à manipuler et à comparer que les fractions non irréductibles. Elles sont également utilisées dans de nombreuses applications pratiques, telles que la physique, l’ingénierie et l’économie.
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