Forme Trigonométrique D'Un Nombre Complexe Pdf

Forme Trigonométrique D’Un Nombre Complexe Pdf

La forme trigonométrique d’un nombre complexe est une manière de représenter un nombre complexe en utilisant les fonctions sinus et cosinus. Cela peut être utile pour effectuer certains calculs, tels que la multiplication et la division de nombres complexes.

1. Définition de la Forme Trigonométrique

Soit \(z = a + bi\) un nombre complexe. Sa forme trigonométrique est donnée par : $$z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$$ Où \(r\) est le module de \(z\), et \(\theta\) est l’argument de \(z\).

2. Calcul de \(r\) et \(\theta\)

Le module \(r\) est donné par : $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Et l’argument \(\theta\) est donné par : $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$$

3. Conversion entre la Forme Algébrique et la Forme Trigonométrique

Pour convertir un nombre complexe de la forme algébrique à la forme trigonométrique, on utilise les formules suivantes : $$a = r\cos(\theta)$$ $$b = r\sin(\theta)$$ Et pour convertir un nombre complexe de la forme trigonométrique à la forme algébrique, on utilise les formules suivantes : $$z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$$

4. Multiplication et Division de Nombres Complexes sous Forme Trigonométrique

La multiplication de deux nombres complexes sous forme trigonométrique est donnée par : $$z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2))$$ Et la division de deux nombres complexes sous forme trigonométrique est donnée par : $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2))$$

Problèmes

1. Convertir le nombre complexe \(z = 3 + 4i\) en forme trigonométrique.

Solution : $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$ $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) = 53.13^\circ$$ Donc $$z = 5(\cos(53.13^\circ) + i\sin(53.13^\circ))$$

2. Multiplier les nombres complexes \(z_1 = 2(\cos(30^\circ) + i\sin(30^\circ))\) et \(z_2 = 3(\cos(45^\circ) + i\sin(45^\circ))\).

Solution : $$z_1z_2 = 2 \times 3(\cos(30^\circ + 45^\circ) + i\sin(30^\circ + 45^\circ))$$ $$= 6(\cos(75^\circ) + i\sin(75^\circ))$$

Conclusion

La forme trigonométrique d’un nombre complexe est un outil puissant qui peut être utilisé pour effectuer divers calculs. En comprenant les concepts de module, d’argument, de conversion entre les formes algébrique et trigonométrique, ainsi que les opérations de multiplication et de division sous forme trigonométrique, vous pouvez utiliser efficacement cette forme pour résoudre divers problèmes.

Forme Trigonométrique D’Un Nombre Complexe Pdf

Points Importants :

• Représentation géométrique des nombres complexes.

Conclusion :

La forme trigonométrique d’un nombre complexe est un outil puissant qui peut être utilisé pour effectuer divers calculs.

Représentation géométrique des nombres complexes.

La forme trigonométrique d’un nombre complexe permet une représentation géométrique utile. Dans le plan complexe, un nombre complexe \(z = a + bi\) peut être représenté par le point \((a, b)\). Le module \(r\) de \(z\) est la distance du point \((a, b)\) à l’origine, et l’argument \(\theta\) de \(z\) est l’angle entre l’axe réel positif et le segment de droite reliant l’origine au point \((a, b)\).

• Représentation du module :
  Le module \(r\) est la distance du point \((a, b)\) à l’origine. Il est calculé par la formule \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\). Plus le module est grand, plus le point \((a, b)\) est éloigné de l’origine.
• Représentation de l’argument :
  L’argument \(\theta\) est l’angle entre l’axe réel positif et le segment de droite reliant l’origine au point \((a, b)\). Il est calculé par la formule \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\). L’argument indique la direction du point \((a, b)\) par rapport à l’axe réel.

La représentation géométrique des nombres complexes sous forme trigonométrique est utile pour visualiser les opérations arithmétiques sur les nombres complexes. Par exemple, la multiplication de deux nombres complexes peut être représentée géométriquement comme une rotation et une dilatation du plan complexe.

En résumé, la forme trigonométrique d’un nombre complexe permet de représenter les nombres complexes sous forme géométrique, ce qui peut faciliter la compréhension des opérations arithmétiques sur les nombres complexes.