Formes Indéterminées Limites D Une Fonction

Aujourd’hui, découvrons les formes indéterminées limites d’une fonction. Elles peuvent être un peu déroutantes au début, mais elles sont en fait assez simples une fois que vous comprenez l’idée de base.

Types de Formes Indéterminées Limites D Une Fonction

Il existe trois types principaux de formes indéterminées limites d’une fonction :

• 0/0
• ∞/∞
• 1^∞

0/0

Ce type de forme indéterminée se produit lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction tendent tous deux vers 0 lorsque x tend vers une valeur donnée. Par exemple, la limite de (x^2 – 4) / (x – 2) lorsque x tend vers 2 est 0/0.

Solution :

Pour résoudre ce type de forme indéterminée, nous pouvons utiliser la factorisation ou la division polynomiale pour simplifier la fraction. Dans cet exemple, nous pouvons factoriser le numérateur comme suit :

x^2 – 4 = (x + 2)(x – 2)

Ensuite, nous pouvons diviser le numérateur par le dénominateur :

(x^2 – 4) / (x – 2) = (x + 2)

Maintenant, nous pouvons prendre la limite de cette expression lorsque x tend vers 2 pour obtenir :

lim_(x->2) (x + 2) = 2 + 2 = 4

Ainsi, la limite de (x^2 – 4) / (x – 2) lorsque x tend vers 2 est 4.

∞/∞

Ce type de forme indéterminée se produit lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction tendent tous deux vers l’infini lorsque x tend vers une valeur donnée. Par exemple, la limite de (x^2 + 1) / (x + 1) lorsque x tend vers l’infini est ∞/∞.

Solution :

Pour résoudre ce type de forme indéterminée, nous pouvons utiliser la division polynomiale ou la factorisation pour simplifier la fraction. Dans cet exemple, nous pouvons diviser le numérateur par le dénominateur :

(x^2 + 1) / (x + 1) = x – 1 + 2 / (x + 1)

Maintenant, nous pouvons prendre la limite de cette expression lorsque x tend vers l’infini pour obtenir :

lim_(x->∞) (x – 1 + 2 / (x + 1)) = ∞ – 1 + 0 = ∞

Ainsi, la limite de (x^2 + 1) / (x + 1) lorsque x tend vers l’infini est ∞.

1^∞

Ce type de forme indéterminée se produit lorsque la base d’une puissance tend vers 1 et l’exposant tend vers l’infini. Par exemple, la limite de (1 + 1/x)^x lorsque x tend vers l’infini est 1^∞.

Solution :

Pour résoudre ce type de forme indéterminée, nous pouvons utiliser le logarithme. Dans cet exemple, nous pouvons prendre le logarithme des deux côtés de l’équation pour obtenir :

log((1 + 1/x)^x) = x * log(1 + 1/x)

Maintenant, nous pouvons prendre la limite des deux côtés de cette équation lorsque x tend vers l’infini pour obtenir :

lim_(x->∞) log((1 + 1/x)^x) = lim_(x->∞) x * log(1 + 1/x) = 0 * ∞

Cette expression est une forme indéterminée 0*∞, donc nous ne pouvons pas prendre la limite directement. Cependant, nous pouvons utiliser la règle de l’Hôpital pour résoudre cette forme indéterminée. En différenciant le numérateur et le dénominateur de l’expression ci-dessus, nous obtenons :

lim_(x->∞) log((1 + 1/x)^x) = lim_(x->∞) x * log(1 + 1/x) = lim_(x->∞) log(1 + 1/x) / (1/x) = 1

Ainsi, la limite de (1 + 1/x)^x lorsque x tend vers l’infini est e

Les formes indéterminées limites d’une fonction peuvent sembler intimidantes au début, mais elles sont en fait assez simples une fois que vous comprenez l’idée de base. En utilisant les techniques que nous avons apprises aujourd’hui, vous pouvez résoudre n’importe quelle forme indéterminée limite d’une fonction.