Déterminer La Forme Canonique D'Une Fonction Du Second Degré Exercice

Déterminer La Forme Canonique D’Une Fonction Du Second Degré

Salut à tous les matheux ! On va parler aujourd’hui d’un sujet passionnant : déterminer la forme canonique d’une fonction du second degré. Vous savez, ces fonctions qui ont une parabole comme graphique ? On va voir comment les décomposer en éléments simples et comprendre leur comportement.

1. Définition de la Forme Canonique

Commençons par le commencement : qu’est-ce qu’une forme canonique ? En gros, c’est une façon particulière d’écrire une fonction du second degré pour mettre en évidence ses caractéristiques essentielles. Elle se présente sous la forme f(x) = a(x – h)² + k, où a, h et k sont des constantes.

2. Déterminer les Éléments de la Forme Canonique

Pour déterminer les éléments de la forme canonique, il faut suivre quelques étapes :

2.1. Trouver le Sommet

Le sommet d’une parabole est le point le plus haut ou le plus bas du graphique. Il correspond aux valeurs de x et de y pour lesquelles la fonction atteint son maximum ou son minimum. On le trouve en utilisant la formule x = -b / 2a.

2.2. Calculer la Valeur de k

k est la valeur de la fonction au sommet. On l’obtient en remplaçant x par la valeur du sommet dans l’équation de la fonction.

2.3. Déterminer la Valeur de a

a est le coefficient du terme en x². On le trouve en comparant l’équation de la fonction à la forme canonique. Il suffit de faire a = 1 / 4a.

3. Exemples

Maintenant, voyons quelques exemples concrets pour bien comprendre le processus :

3.1. Exemple 1

Soit la fonction f(x) = x² – 4x + 3. Déterminons sa forme canonique.

Étape 1 : Trouver le Sommet

x = -b / 2a = -(-4) / 2(1) = 2

Étape 2 : Calculer la Valeur de k

k = f(2) = (2)² – 4(2) + 3 = -1

Étape 3 : Déterminer la Valeur de a

a = 1 / 4a = 1 / 4(1) = 1/4

Forme Canonique : f(x) = (1/4)(x – 2)² – 1

3.2. Exemple 2

Soit la fonction f(x) = -2x² + 8x – 3. Déterminons sa forme canonique.

Étape 1 : Trouver le Sommet

x = -b / 2a = -8 / 2(-2) = 2

Étape 2 : Calculer la Valeur de k

k = f(2) = -2(2)² + 8(2) – 3 = 7

Étape 3 : Déterminer la Valeur de a

a = 1 / 4a = 1 / 4(-2) = -1/4

Forme Canonique : f(x) = (-1/4)(x – 2)² + 7

Et voilà, vous savez maintenant déterminer la forme canonique d’une fonction du second degré ! Vous pouvez maintenant impressionner vos amis et votre prof de maths avec vos nouvelles connaissances.

N’oubliez pas que la pratique rend parfait, alors continuez à vous entraîner avec d’autres exemples. Et si vous avez des questions, n’hésitez pas à les poser dans les commentaires ci-dessous.

Déterminer La Forme Canonique D’Une Fonction Du Second Degré Exercice

Point clé :

• Décomposer la fonction en éléments simples.

Ce point clé est important car il permet de comprendre le comportement de la fonction et de déterminer ses caractéristiques essentielles.

Décomposer la fonction en éléments simples.

Pour décomposer une fonction du second degré en éléments simples, il faut la mettre sous la forme canonique. Cela permet de séparer la fonction en trois éléments principaux :

• Le coefficient a : Il représente la courbure de la parabole. Si a est positif, la parabole s’ouvre vers le haut. Si a est négatif, la parabole s’ouvre vers le bas.
• Le sommet (h, k) : C’est le point le plus haut ou le plus bas de la parabole. Il représente le point où la fonction atteint son maximum ou son minimum.
• Le terme constant k : Il représente la valeur de la fonction lorsque x = 0.

Une fois que la fonction est sous forme canonique, on peut facilement étudier son comportement et déterminer ses caractéristiques essentielles, telles que le sommet, les racines et l’axe de symétrie.

Voici un exemple pour illustrer le processus de décomposition d’une fonction du second degré en éléments simples :

Soit la fonction f(x) = x² – 4x + 3.

1. Mettre la fonction sous forme canonique :

f(x) = x² – 4x + 3

= x² – 4x + 4 – 1

= (x – 2)² – 1

2. Identifier les éléments de la forme canonique :

• a = 1
• h = 2
• k = -1

3. Analyser le comportement de la fonction :

• Comme a est positif, la parabole s’ouvre vers le haut.
• Le sommet de la parabole est (2, -1).
• La fonction atteint son minimum au point (2, -1).
• L’axe de symétrie de la parabole est x = 2.

En décomposant la fonction en éléments simples, on peut facilement comprendre son comportement et déterminer ses caractéristiques essentielles.