Forme Échelonnée Réduite D’Une Matrice
La forme échelonnée réduite d’une matrice est une forme particulière qui est utile pour résoudre des systèmes d’équations linéaires et d’autres problèmes de mathématiques. Dans ce blog, nous allons vous expliquer ce qu’est la forme échelonnée réduite d’une matrice et comment la trouver.
Qu’est-ce que la forme échelonnée réduite d’une matrice ?
La forme échelonnée réduite d’une matrice est une forme dans laquelle les éléments de la matrice sont disposés de manière à ce que la matrice soit triangulaire et que chaque élément au-dessus de la diagonale principale soit nul. Par exemple, la matrice suivante est en forme échelonnée réduite :
[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]
Comment trouver la forme échelonnée réduite d’une matrice ?
Il existe plusieurs méthodes pour trouver la forme échelonnée réduite d’une matrice. Une méthode courante est la méthode de Gauss-Jordan, qui consiste à effectuer une série d’opérations élémentaires sur la matrice jusqu’à ce qu’elle atteigne la forme échelonnée réduite. Les opérations élémentaires sont les suivantes :
- Échanger deux lignes de la matrice.
- Multiplier une ligne de la matrice par un nombre non nul.
- Ajouter une ligne de la matrice à une autre ligne.
Pourquoi la forme échelonnée réduite d’une matrice est-elle utile ?
La forme échelonnée réduite d’une matrice est utile pour résoudre des systèmes d’équations linéaires et d’autres problèmes de mathématiques. Par exemple, la forme échelonnée réduite d’une matrice peut être utilisée pour déterminer si un système d’équations linéaires a une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution.
Exemples de forme échelonnée réduite
Voici quelques exemples de matrices en forme échelonnée réduite :
- [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]
- [1 2 3] [0 1 4] [0 0 0]
- [1 0 -2] [0 1 3] [0 0 0]
Conclusion
La forme échelonnée réduite d’une matrice est un outil puissant qui peut être utilisé pour résoudre des systèmes d’équations linéaires et d’autres problèmes de mathématiques. En comprenant la forme échelonnée réduite, vous pouvez résoudre des problèmes mathématiques plus facilement et plus efficacement.
Forme Échelonnée Réduite D’Une Matrice
Points importants :
- Forme triangulaire.
La forme échelonnée réduite d’une matrice est une forme triangulaire particulière qui est utile pour résoudre des systèmes d’équations linéaires et d’autres problèmes de mathématiques.
Forme triangulaire.
La forme triangulaire d’une matrice est une caractéristique importante de la forme échelonnée réduite. Dans une matrice triangulaire, tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls. Par exemple, la matrice suivante est une matrice triangulaire :
[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]
La forme triangulaire d’une matrice est utile pour résoudre des systèmes d’équations linéaires. En effet, une matrice triangulaire peut être résolue facilement en commençant par la dernière ligne et en remontant vers la première ligne. Par exemple, considérons le système d’équations linéaires suivant :
x + 2y + 3z = 6 2x + 3y + 4z = 9 3x + 4y + 5z = 12
Ce système d’équations linéaires peut être représenté par la matrice suivante :
[1 2 3 | 6] [2 3 4 | 9] [3 4 5 | 12]
En utilisant la méthode de Gauss-Jordan, on peut transformer cette matrice en forme échelonnée réduite :
[1 0 0 | 1] [0 1 0 | 2] [0 0 1 | 3]
La matrice en forme échelonnée réduite est triangulaire. Nous pouvons maintenant résoudre le système d’équations linéaires en commençant par la dernière ligne. La dernière ligne de la matrice nous donne l’équation z = 3. En remplaçant z par 3 dans les deux premières lignes de la matrice, on obtient :
[1 0 0 | 1] [0 1 0 | 2]
La deuxième ligne de la matrice nous donne l’équation y = 2. En remplaçant y par 2 dans la première ligne de la matrice, on obtient :
[1 0 0 | 1]
La première ligne de la matrice nous donne l’équation x = 1. Donc, la solution du système d’équations linéaires est x = 1, y = 2, et z = 3.
La forme triangulaire d’une matrice est également utile pour déterminer si un système d’équations linéaires a une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution. Si la matrice en forme échelonnée réduite a une ligne de zéros, alors le système d’équations linéaires n’a aucune solution. Si la matrice en forme échelonnée réduite a deux lignes ou plus de zéros, alors le système d’équations linéaires a une infinité de solutions. Sinon, le système d’équations linéaires a une solution unique.
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